Haskell の IntMap は平衡されない

木 Advent Calendar 2023 の 24 日目の記事です。

昨日は CuriousFairy315 さんの「Colorful Tree Game」でした。

明日は Shirotsume さんの「ラベルなし木の数え上げ」です。

記事

Haskell における標準的な辞書は containers パッケージの木です。

木が辞書？

木は辞書として使えます。たとえば平衡 2 分木においては \(\log_2 N\) 回の探索で要素の lookup ができますから、明らかに辞書として使えそうです。

なぜ木を辞書とするかと言えば、 hashmap には可変操作が必要なため、 Haskell においてはモナドが要求されてややこしいからだと思います。

辞書としての木は lookup などの基本的な操作が遅いのですが、順序付きマップであるために、最小値や最大値の検索・削除が lookup と同じ速度で可能です。

木の実装

実用的な木を考えると、平衡木 (BTree, balanced tree) を思い浮かべると思います。 containers パッケージの Map 型は平衡木ですが、 Int 型をキーとするマップには、特に IntMap という特別なデータ型が用意されています。

IntMap の実装はよくある平衡木ではなく、 big-endian patricia trees であるとのことです。詳細は Fast Mergeable Integer Maps にありますが、完全二分木を圧縮したような形だと思いました。

ここでは Data.IntMap.Internal.Debug モジュールの関数を使って、実際に IntMap の中身を確認してみましょう。

Listing 1: IM.hs

import Data.IntMap.Strict qualified as IM
import Data.IntMap.Internal.Debug as IMD
import Data.Tuple.Extra (dupe)

debug :: [Int] -> IO ()
debug = putStrLn . IMD.showTree . IM.fromList . map dupe

$ stack repl IM.hs
ghci> debug [0 .. 3]
*
+--*
|  +-- 0:=0
|  +-- 1:=1
+--*
   +-- 2:=2
   +-- 3:=3

ghci> debug $ [0 .. 3] ++ [100]
*
+--*
|  +--*
|  |  +-- 0:=0
|  |  +-- 1:=1
|  +--*
|     +-- 2:=2
|     +-- 3:=3
+-- 100:=100

最上位 bit から順に、 * 以下にて bit の ON/OFF で分岐しています。図を時計回りに 90 度傾けてもらうと、 bit が ON がなら左に、 bit が OFF ならば右に分岐しています。

IntMap は平衡されません。次のようにバランスの崩れた木を作ることができます:

Listing 2: \(0, 1, 2, .. 2^{16}\) を入れてみた場合

ghci> debug $ (0 :) $ map (2^) [0 .. 16]
*
+--*
|  +--*
|  |  +--*
|  |  |  +--*
|  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +--*
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 0:=0
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 1:=1
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 2:=2
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 4:=4
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 8:=8
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 16:=16
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 32:=32
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 64:=64
|  |  |  |  |  |  |  |  |  +-- 128:=128
|  |  |  |  |  |  |  |  +-- 256:=256
|  |  |  |  |  |  |  +-- 512:=512
|  |  |  |  |  |  +-- 1024:=1024
|  |  |  |  |  +-- 2048:=2048
|  |  |  |  +-- 4096:=4096
|  |  |  +-- 8192:=8192
|  |  +-- 16384:=16384
|  +-- 32768:=32768
+-- 65536:=65536

ただし 64 bit 整数 (Int) がキーである以上、木の高さは最大 64 であり、バランスが崩れても遅すぎるということはありません。このため lookup 関数の計算量は \(O(min(n,W))\) となっています (\(W = 64\) です) 。

そんな IntMap はマージ処理もそこそこ速く、性能のバランスが取れているようです。今日でも優れた選択なのかは分かりませんが、平衡しないんだ〜と面白かったので共有しました。お使いの言語でも patricia tree は使われているのでしょうか。

以上です。昨日投稿の AtCoder ガチ言語 Haskell 🔥 もよろしくお願いします！